[JSOI2007] 群的计数

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题目描述

   代数学研究的基本对象之一群是一些元素的集合。这些元素之间有一种代数运算,称之为乘法。两个群元素的乘积是一个群元素。一个大家习以为常的群是有理数乘法群,例如,等等,都是这个群中乘法的例子。需要注意的是,如果仅仅考虑有理数的乘法群,另外的一些运算比如加法是不被讨论的。数学家们把乘法抽象出来,就成为了群。群需要满足以下三条性质:
结合律:对群中的任意元素a,b,c 有 a(bc)=(ab)c
单位元:在群中存在唯一的元素e,它对群中任意的元素a有ea=a,ae=a
有理数乘法群的单位元是1
逆 元:对群中任意元素a,都存在群中唯一的元素b,使得ab=ba=e
 
比如有理数乘法群中,23的逆元就为。从这里可以看出,整数乘法不能构成一个群
需要注意的是,群的定义中并没有交换律,就是说ab不一定等于ba,有理数乘法群作为一个特例,其交换性是没有普遍的意义的
 
现在的问题是,给定群的元素的个数(群的阶数),需要知道这样的群有多少种。只要满足上述三条性质,就是群,应该算上。
  
下面用四阶群的例子来说明这个问题。抽象地记群元素为e,a,b,c 只要列出一个乘法表,就可以代表一个群。下面给出推导乘法表的步骤:

群1
e
a
b
c
e
e (1)
a (1)
b (1)
c (1)
a
a (1)
e (2)
c (3)
b (3)
b
b (1)
c (3)
e (4)
a (5)
c
c (1)
b (3)
a (5)
e (5)

 
有单位元素的性质,可以填上
a*a可能为e,b,c,但不可能为a,否则a*a=a两边乘以a的逆元,得到a=e;
a*a=b和a*a=c的情况是一样的,只是乘法表中元素的位置进行了一个变换,本质没有改变,称为一个群同构;此时可以把a*a得到的元素称为b;
 
所以只要讨论a*a=e和a*a=b的情况;下面先讨论a*a=e的情况
a*b不能为a或e,a*b为b的话,a=e,也矛盾,所以a*b=c;同理可填上所有的(3)
b*b=e时,b*c=c*b=a,c*c=e,得到群1
b*b=a时,b*c=c*b=e,c*c=a,得到群2
 

群2
e
a
b
c
e
e (1)
a (1)
b (1)
c (1)
a
a (1)
e (2)
c (3)
b (3)
b
b (1)
c (3)
a (4)
e (5)
c
c (1)
b (3)
e (5)
a (5)

 
当a*a=b时,按照标号顺序可填出下列的群:

群 2’
e
a
b
c
e
e (1)
a (1)
b (1)
c (1)
a
a (1)
b (2)
c (4)
e (3)
b
b (1)
c (4)
e (6)
a (5)
c
c (1)
e (3)
a (5)
b (6)

 
但需要注意的是,这并没有得到一个新的群,把群2中的a,b调换位置,就得到了群2’。群2’只是群2的一个同构而已。
综上所述,四阶群一共有2种。
 
虽然4阶群一定有交换律,但这里再次提醒,这并非一个普遍现象。
 


输入格式

输入群的阶数n(4<=n<=3000)。
 


输出格式

输出n阶群的种类数。
 


样例输入

4
 

样例输出

2
 

提示


Hint
注意并灵活运用群的三条性质


题目来源

没有写明来源